Die Schönheit im Verborgenen
( Mandelbrot-Menge, Fraktale, Selbstwiederholung )
Warnung: Wer zu Schläfrigkeit , Narkolepsie, Hypersomnie neigt, sollte diesen Beitrag meiden. Motivierte Leser dagegen werden nach der fachspezifischen Einleitung mit hübschen, bunten Bildchen belohnt. Aber auch konfrontiert mit der drängenden, philosophischen Frage:
War diese verborgene Schönheit schon immer da ?
Lange bevor Menschen sie „entdeckt“ haben. Wer hat diese Schönheit geschaffen ?
Es war um das Jahr 1905, da beschäftigten sich die Franzosen Gaston Maurice Julia (und Pierre Fatou) mit iterativen (auf sich selbst angewendete) Funktionen. (Vermutlich war ihnen gerade schrecklich langweilig ...).
Das Kochrezept dieses rekursiven Algorithmus ist denkbar simpel.
Man nehme eine Zahl z, wende die Funktion f darauf an, auf das Ergebnis wieder f, usw.
z => f(z) => f(f(z)) => f(f(f(z))) => .... ( GÄHN ! )
Bei jeder Iteration entsteht eine weitere Zahl. Diese Zahlen ergeben aufgereiht eine (unendliche) Folge (auch Orbit genannt). Damit es ein wenig spannender wird verwendete Julia komplexe Zahlen. Also diese seltsamen Gebilde, bestehend aus 2 Komponenten, einem Real- und einem Imaginärteil. Damit wurde die Rechnerei aber noch mühsamer.
Abhängig von einem Startwert und einem Parameter c zeigten die so gewonnen Zahlenfolgen extrem unterschiedliche Eigenschaften.
Man beobachtet das „gutmütige“ Verhalten, wobei die Dynamik in gewissem Sinne stabil bleibt und eine kleine Änderung des Startwertes zu fast der gleichen (konvergenten) Folge führt.
Aber auch das chaotische Verhalten, wobei eine noch so kleine Änderung des Startwertes eine komplett andere Folge erzeugt. Die Dynamik hängt „chaotisch“ vom Startwert ab.
Julia interessierte sich für solche Parameter c, die „brave“ Folgen erzeugen, also „beschränkt“ sind und nicht ins Unendliche rauschen. Das ergibt die, nach ihm benannte Julia-Menge.
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Jahrzehnte laaange Pause
Vermutlich war Julia der Einzige, der sich für so einen Schwachsinn interessierte.
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In den 70-er Jahren des letzten Jahrhunderts kamen die ersten Großrechner auf den Markt. Einem Computer wird es niemals langweilig. Der berechnet obige Iteration viele tausend mal ohne (hörbar) zu murren. Es war der IBM-ler Benoît B. Mandelbrot, der diese unerschöpfliche Geduld des armen Blechtrottels schamlos ausnutzte. Mandelbrot erstellte Computerplots der Julia-Menge, um ihre Topologie in Abhängigkeit von dem komplexen Parameter c zu untersuchen. Dabei entdeckte er die Mandelbrot-Menge, die nach ihm benannt ist (wird aufgrund ihes Aussehens auch Apfelmännchen genannt).
Seit Gauß ist es üblich die Menge der komplexen Zahlen in Gestalt einer Zahlenebene zu visualisieren. Wenn man nun (näherungsweise) jeden Punkt der Zahlenebene mit einem Pixel identifiziert, lässt sich die Mandelbrot-Menge wunderbar und farbig darstellen.
Mandelbrot-Algorithmus:
Wenn die mit Parameter c generierte Folge beschränkt ist, c also zur Mandelbrotmenge gehört, wird das Pixel schwarz gefärbt, ansonsten weiß. Man kann noch einen Schritt weiter gehen und auch die Punkte welche nicht Element der Mandelbrot-Menge sind farbig markieren. Nämlich abhängig von der Anzahl der Iterationen die erforderlichen sind bis feststeht, dass die Folge nicht beschränkt ist. So entsteht ein „Geschwindigkeitsbild“ : Die Farbe jedes Pixels gibt an, wie schnell die Folge mit dem betreffenden c gegen Unendlich strebt.
Es sind viele Milliarden Rechenoperationen erforderlich um so ein Bild zu berechnen, was in einem Menschenleben nicht zu schaffen wäre.
Wie nachstehende Abbildungen zeigt, entstehen Bilder deren Aufbau offenbar einer wunderschönen Gesetzmäßigkeit folgt.
Es schlummert hier ein Objekt von unglaublicher Komplexität und Schönheit im Verborgenen. Erst 1979 wurde es von Benoit Mandelbrot sichtbar gemacht.
Auffallend ist die Selbstähnlichkeit. Das ist der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Wer genau hinsieht entdeckt immer noch kleinere Apfelmännchen und das scheint sich bis ins Unendliche fortzusetzen.
Wenn es vor 50 Mio Jahren eine Kultur mit Rechenmaschinen gegeben hätte, dann wäre man vermutlich schon damals auf dieses Phänomen gestossen. Ebenso könnten auf einem Planet im Andromedanebel diese Bilder von Aliens entdeckt werden.
Es ist also eine verborgene Schönheit, die nicht von Menschen gemacht, unabhängig von Zeit und Raum.
Wer hat diese Schönheit geschaffen ?
( Die Story von dem Mann mit dem weißem Bart über den Wolken ist mir zu simpel !)
Folgendes Tutorial aus „professoraler“ Hand erklärt das Thema nochmals. Wem es zu langweilig ist, der kann ab Minute 30 bunte Bildchen gucken.
https://www.youtube.com/watch?v=5TzqfheD3rQ
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